. Однако обозначения чисел в Испании 10 в. настолько сильно отличались по своим начертаниям от приведенных выше, что казались никак с ними не связанными. В испанских обозначениях, получивших название «гобар» или «песчаных», число 6789 выглядело бы так:

. Свое название эти обозначения получили потому, что ими пользовались при вычислениях на «песчаном абаке». Как свидетельствует Бируни, индийцы часто производили вычисления на песке, что, возможно, и послужило поводом для такого названия. Тем не менее само происхождение этих цифр, от которых в свою очередь произошли наши

Западная Европа. Первым европейским ученым, о котором достоверно известно, что он ввел в употребление в Европе арабские цифры, был Герберт, работавший в Испании и позднее (в 999-м) ставший папой Сильвестром II. В 12 в. Хуан из Севильи перевел на латынь трактат De numero indorum (Об индийских числах) арабского математика Аль-Хорезми. Когда в следующем веке индийские обозначения стали широко известными, новая система получила название алгоритм – от искаженного Аль-Хорезми. Через пару столетий европейские алгоритмики одержали верх и над абацистами, и над теми, кто пользовался римскими цифрами в вычислениях с целыми числами, но лишь с 1585 индо-арабская система обозначений, систематически расширяясь, стала использоваться и применительно к дробям. В том же году Симон Стевин опубликовал свой небольшой трактат De Thiende (Десятина), в котором он предложил записывать в виде или число, которое мы записали бы как 6789. В 17 в. вошла в употребление десятичная запятая (или точка), которой стали отделять целую часть числа от дробной, после чего европейцы отказались от предложенной Стевином индексации разрядов. После этих изменений развитие современной системы счисления завершилось. (Это отнюдь не означает, будто была достигнута полная стандартизация в названиях или обозначениях чисел. В Америке и Франции биллион означает тысячу миллионов, а в Англии и Германии – миллион миллионов; в континентальной Европе часто используется десятичная запятая, а в англосаксонских странах предпочитают ставить десятичную точку; англосаксы используют запятые, чтобы отделять степени тысячи, в некоторых странах для этой цели служит точка.)

В последние годы в области прикладной математики, особенно в компьютерах, очень важное значение приобрела двоичная система счисления.

В то время как система счисления с основанием 10 требует десяти цифр (включая нуль), для двоичной арифметики необходимо всего два символа – 0 и 1.

Десятичная система	Двоичная система	Десятичная система	Двоичная система
0	0	9	1001
1	1	10	1010
2	10	11	1011
3	11	12	1100
4	100	13	1101
5	101	14	1110
6	110	15	1111
7	111	16	10000
8	1000

В двоичной системе число 6789 записывается в виде 1101010000101, т.е. как

Переход от десятичной записи к двоичной осуществляется легко: десятичное число делится на два, затем на два делится частное, затем – новое частное и так до тех пор, пока не будет получено последнее частное (равное 1), причем каждый раз записывается остаток от деления. Выписав последнее частное (1) и вслед за ним в обратном порядке все остатки от деления исходного числа на два, мы получим двоичный эквивалент исходного числа. Чтобы записать двоичное число в десятичной системе, необходимо обратить процедуру: умножить первую цифру слева на 2, к полученному результату прибавить вторую цифру слева, полученную сумму прибавить к третьей цифре слева и т.д. до тех пор, пока мы не прибавим последнюю (самую правую) цифру двоичного числа.

Двоичной системой счисления пользовался в начале 17 в. Т.Харриот. Позднее Г.Лейбниц обратил на двоичную систему внимание миссионеров, отправлявшихся для проповеди христианства в Китай в надежде убедить китайского императора в том, что Бог (единица) сотворил все из ничего (нуля). Однако вплоть до 20 в. двоичную систему рассматривали как своего рода математический курьез, и время от времени раздавались предложения перейти от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной, но отнюдь не двоичной системе.

Однако именно в двоичной системе арифметические операции особенно просты. В двоичной системе не существует «таблицы сложения», которую нужно бы было запоминать, так как «перенос в старший разряд» начинается с 1 + 1 = 10. При сложении больших чисел необходимо лишь складывать по столбцам или разрядам, как в десятичной системе, памятуя лишь о том, что как только сумма в столбце достигает числа 2, двойка переносится в следующий столбец (влево) в виде единицы старшего разряда. Вычитание производится так же, как в десятичной системе, не задумываясь о том, что теперь в случае необходимости нужно «занимать» из столбца слева 2, а не 10.

В двоичной таблице умножения единственный результат, отличный от нуля, соответствует 1ґ1 = 1. Каких-нибудь других «табличных» произведений, требующих запоминания, не существует, так как любое целое число больше единицы в двоичной системе по крайней мере «двузначно». Умножение «столбиком» выполняется без труда, так как необходимость в «переносе в старший разряд» отпадает, за исключением сложения частичных произведений при получении окончательного ответа. Однако за эту легкость приходится «платить» большим числом знаков при умножении даже небольших чисел.

Деление «углом» в двоичной системе выполняется быстро, при этом нет необходимости в пробных делителях. По существу, деление становится своего рода непрерывным вычитанием, которое отличается необычайной «прозрачностью».

В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний – либо «выключено» (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо «включено» (цепь замкнута, двоичная цифра 1). Числа, записанные в двоичной системе, требуют большего числа знаков, чем их аналоги в десятичной системе, но при проектировании компьютеров, предназначенных для работы с числами, не превышающими 10 миллионов, оказалось, что легче оперировать с 24-разрядными двоичными числами (т.е. 24 реле или переключателя типа «вкл.» – «выкл.»), чем с семизначными десятичными числами (реле или переключателями, которые могут находиться в 10 состояниях). И в двоичной, и в десятичной системе суть состоит в позиционном принципе записи чисел, поэтому ясно, что современные суперкомпьютеры стали возможны благодаря тому, что четыре тысячи лет назад в Месопотамии было совершено важнейшее открытие в области обозначения чисел.

назад   дальше