Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N₀, числом ребер N₁ и числом граней N₂ любого выпуклого правильного многогранника {p, q}. Речь идет о соотношении

которое называется формулой Эйлера в честь открывшего ее Л.Эйлера (1707–1783). Левая часть формулы (4) называется «эйлеровой характеристикой».

Формула Эйлера используется в сочетании с формулами (2) и (3). Из (4) и (2) получаем:

Отсюда следует выражение для N₁ через p и q:

где

Воспользовавшись еще раз формулой (2), находим аналогичные выражения для N₀ и N₂:

Подставляя полученные выражения в формулы (3) и (4), получаем, что число прямых симметрий многогранника {p, q} равно

Это число можно записать также в одной из эквивалентных форм: qN₀, 2N₁ или pN₂.

Область применения формулы Эйлера. Значимость формулы Эйлера усиливается тем, что она применима не только к платоновым телам, но и к любому многограннику, гомеоморфному сфере (см. ТОПОЛОГИЯ). Это утверждение доказывается следующим образом.

Пусть P – любой многогранник, гомеоморфный сфере, с N₀ вершинами, N₁ ребрами и N₂ гранями; пусть c = N₀ – N₁ + N₂ – эйлерова характеристика многогранника P. Требуется доказать, что c = 2. Так как Р гомеоморфен сфере, мы можем удалить одну грань и превратить остальные в некоторую конфигурацию на плоскости (например, на рис. 5,а и 5,б вы видите призму, у которой удалена передняя плоскость). «Плоскостная конфигурация» представляет собой сеть точек и прямолинейных отрезков, называемых соответственно «вершинами» и «ребрами», при этом вершины служат концами ребер. Вершины и ребра рассматриваемой нами конфигурации мы считаем смещенными и деформированными вершинами и ребрами многогранника. Таким образом, эта конфигурация имеет N₀ вершин и N₁ ребер. Остальные N₂ – 1 граней многогранника деформируются в N₂ – 1 непересекающихся областей на плоскости, определяемой конфигурацией. Назовем эти области «гранями» конфигурации. Вершины, ребра и грани конфигурации и определяют эйлерову характеристику, которая в данном случае равна c – 1.

(7.06 Кб)

Теперь мы проведем сплющивание так, что если удаленная грань была р-угольником, то все N₂ – 1 граней конфигурации заполнят внутренность р-угольника. Пусть А – некоторая вершина внутри р-угольника. Предположим, что в А сходятся r ребер. Если удалить А и все r сходящихся в ней ребер, то число вершин уменьшится на 1, ребер – на r, граней – на r – 1 (см. рис. 5,б и 5,в). У новой конфигурации Nў₀ = N₀ – 1 вершин, Nў₁ = N₁ – r ребер и Nў₂ = N₂ – 1 – (r – 1) граней; следовательно,

Таким образом, удаление одной внутренней вершины и сходящихся в ней ребер не меняет эйлеровой характеристики конфигурации. Поэтому, удалив все внутренние вершины и сходящиеся в них ребра, мы тем самым сведем конфигурацию к р-угольнику и его внутренности (рис. 5,г). Но эйлерова характеристика останется по-прежнему равной c – 1, а так как конфигурация имеет р вершин, р ребер и 1 грань, мы получаем

Таким образом, c = 2, что и требовалось доказать.

Далее можно доказать, что если эйлерова характеристика многогранника равна 2, то многогранник гомеоморфен сфере. Иначе говоря, мы можем обобщить полученный выше результат, показав, что многогранник гомеоморфен сфере в том и только в том случае, если его эйлерова характеристика равна 2.

назад   дальше