Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
||||
  
|
|
ПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия». Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической прогрессии, например 1, 2, 3, 4, ј или 2, 5, 8, 11, 14, ј (многоточие означает «и т.д.»). Разность между последовательными членами необязательно должна быть положительной, например, для прогрессии 3, 1, -1, -3, -5, ј она равна -2. Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число, называемое знаменателем прогрессии, например 5, 10, 20, 40, 80, ј или 5, -10, 20, -40, 80, ј (в первом случае знаменатель равен 2, во втором равен –2). Формулы. Рассмотрим n членов арифметической прогрессии. Пусть a – первый член, l – последний член и d – разность между последовательными членами. Тогда l = a +(n – 1) d. Сумма первых n членов прогрессии вычисляется следующим образом:
Эту формулу легко запомнить, суть ее в том, что сумма n членов равна числу членов, умноженному на полусумму первого и последнего членов. Например, сумма последовательных целых чисел от 1 до 50 равна (1/2)Ч50Ч51 = 1275. Рассмотрим теперь n членов геометрической прогрессии; пусть a – первый член, l – последний член, S – сумма первых n членов прогрессии. Вместо разности d мы теперь должны использовать знаменатель прогрессии r, равный отношению любого последующего члена к предыдущему. Тогда
и
Например, если бы за первый день месяца вам заплатили 1 цент, а за каждый последующий день вы получали бы вдвое больше, чем за предыдущий, то за первые 10 дней вы заработали бы всего 10,23 долл., а за первые 30 дней уже 10737418,23 долл. Эти выкладки показывают, что при r >1 члены геометрической прогрессии в конце концов возрастают очень быстро. Такие геометрические прогрессии называются возрастающими. Они используются, например, при вычислении сложных процентов. Если 0 < r < 1, то геометрическая прогрессия называется убывающей, если r < 0, то прогрессия – знакочередующаяся. Если знаменатель прогрессии r заключен между -1 и +1, то величина rn при больших n очень мала, и при n ® Ґ сумма стремится к пределу a/(1 – r), называемому суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. также РЯДЫ). Если a
и b
– два заданных числа, то числа a,
(a + b)/2
и b
являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, а
числа a,
|
|
|
|
и b
(a
> 0, b
> 0) – тремя последовательными
членами геометрической прогрессии. Средние члены (a
+ b)/2
и 
называются соответственно средним арифметическим и средним геометрическим
чисел a и b. (Арифметическое
среднее совпадает с обычным средним.)