Только у нас мобильная версия поиска, поиск по сайтам Беларуси, апдейт базы ежедневно.

Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!

Логарифмическая функция. Было время, когда логарифмы рассматривались исключительно как средство вычислений, однако в 18 в., главным образом благодаря трудам Эйлера, сформировалась концепция логарифмической функции. График такой функции y = lnx, ординаты которого возрастают в арифметической прогрессии, тогда как абсциссы – в геометрической, представлен на рис. 2,а. График обратной, или показательной (экспоненциальной), функции y = e^x, ординаты которого возрастают в геометрической прогрессии, а абсциссы – в арифметической, представлен, соответственно, на рис. 2,б. (Кривые y = logx и y = 10^x по форме аналогичны кривым y = lnx и y = e^x.) Были предложены также альтернативные определения логарифмической функции, например,

(4.16 Кб) (3.72 Кб)

Благодаря работам Эйлера стали известны соотношения между логарифмами и тригонометрическими функциями в комплексной плоскости. Исходя из тождества e^ix = cos x + i sin x (где угол x измеряется в радианах, ), Эйлер заключил, что каждое отличное от нуля действительное число имеет бесконечно много натуральных логарифмов; все они являются комплексными в случае отрицательных чисел и все, кроме одного, – в случае положительных чисел. Поскольку e^ix = 1 не только при x = 0, но и при x = ± 2kp, где k – любое положительное целое число, за натуральный логарифм числа 1 можно принять любое из чисел 0 ± 2kpi; и, аналогично, натуральные логарифмы числа -1 являются комплексными числами вида (2k + 1)pi, где k – целое число. Аналогичные утверждения справедливы и относительно общих логарифмов или других систем логарифмов. Кроме того, определение логарифмов можно обобщить, пользуясь тождествами Эйлера так, чтобы оно включало комплексные логарифмы комплексных чисел.

Альтернативное определение логарифмической функции дает функциональный анализ. Если f (x) – непрерывная функция действительного числа x, обладающая следующими тремя свойствами: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), то f (x) определяется как логарифм числа x по основанию b. Это определение обладает рядом преимуществ перед определением, приведенным в начале этой статьи.