Данное выше определение равнодействующей можно обобщить на систему сил F₁, F₂, ..., F_n, приложенных в точках O₁, O₂, ..., O_n твердого тела. Выбирается точка O, называемая точкой приведения, и в ней строится система параллельно перенесенных сил, равных по величине и направлению силам F₁, F₂, ..., F_n. Равнодействующая R этих параллельно перенесенных векторов, т.е. вектор, представленный замыкающей стороной многоугольника сил, называется равнодействующей сил, действующих на тело (рис. 2). Ясно, что вектор R не зависит от выбранной точки приведения. Если величина вектора R (отрезок ON) не равна нулю, то тело не может находиться в покое: в соответствии с законом Ньютона всякое тело, на которое действует сила, должно двигаться с ускорением. Таким образом, тело может находиться в состоянии равновесия только при условии, что равнодействующая всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Однако это необходимое условие нельзя считать достаточным – тело может двигаться, когда равнодействующая всех приложенных к нему сил равна нулю.

(8.23 Кб)

В качестве простого, но важного примера, поясняющего сказанное, рассмотрим тонкий жесткий стержень длиной l, вес которого пренебрежимо мал по сравнению с величиной приложенных к нему сил. Пусть на стержень действуют две силы F и -F, приложенные к его концам, равные по величине, но противоположно направленные, как показано на рис. 3,а. В этом случае равнодействующая R равна F – F = 0, но стержень не будет находиться в состоянии равновесия; очевидно, он будет вращаться вокруг своей средней точки O. Система двух равных, но противоположно направленных сил, действующих не по одной прямой, представляет собой «пару сил», которую можно характеризовать произведением величины силы F на «плечо» l. Значимость такого произведения можно показать путем следующих рассуждений, которые иллюстрируют правило рычага, выведенное Архимедом, и приводят к заключению об условии вращательного равновесия. Рассмотрим легкий однородный жесткий стержень, способный поворачиваться вокруг оси в точке O, на который действует сила F₁, приложенная на расстоянии l₁ от оси, как показано на рис. 3,б. Под действием силы F₁ стержень будет поворачиваться вокруг точки O. Как нетрудно убедиться на опыте, вращение такого стержня можно предотвратить, приложив некоторую силу F₂ на таком расстоянии l₂, чтобы выполнялось равенство F₂l₂ = F₁l₁.

(4.96 Кб)

Таким образом, вращение можно предотвратить бесчисленными способами. Важно лишь выбрать силу и точку ее приложения так, чтобы произведение силы на плечо было равно F₁l₁. Это и есть правило рычага.

Нетрудно вывести условия равновесия системы. Действие сил F₁ и F₂ на ось вызывает противодействие в виде силы реакции R, приложенной в точке O и направленной противоположно силам F₁ и F₂. Согласно закону механики о действии и противодействии, величина реакции R равна сумме сил F₁ + F₂. Следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на систему, равна F₁ + F₂ + R = 0, так что отмеченное выше необходимое условие равновесия выполняется. Сила F₁ создает крутящий момент, действующий по часовой стрелке, т.е. момент силы F₁l₁ относительно точки O, который уравновешивается действующим против часовой стрелки моментом F₂l₂ силы F₂. Очевидно, что условием равновесия тела является равенство нулю алгебраической суммы моментов, исключающее возможность вращения. Если сила F действует на стержень под углом q, как показано на рис. 4,а, то эту силу можно представить в виде суммы двух составляющих, одна из которых (F_p), величиной F cosq, действует параллельно стержню и уравновешивается реакцией опоры -F_p, а другая (F_n), величиной F sinq, направлена под прямым углом к рычагу. В этом случае крутящий момент равен Fl sinq; он может быть уравновешен любой силой, которая создает равный ему момент, действующий против часовой стрелки.

(7.11 Кб)

Чтобы проще было учитывать знаки моментов в тех случаях, когда на тело действует много сил, момент силы F относительно любой точки O тела (рис. 4,б) можно рассматривать как вектор L, равный векторному произведению rґF вектора положения r на силу F. Таким образом, L = rґF. Нетрудно показать, что если на твердое тело действует система сил, приложенных в точках O₁, O₂, ..., O_n (рис. 5), то эту систему можно заменить равнодействующей R сил F₁, F₂, ..., F_n, приложенной в любой точке Oў тела, и парой сил L, момент которых равен сумме [r₁ґF₁] + [r₂ґF₂] + ... + [r_nґF_n]. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно приложить в точке Oў систему пар равных, но противоположно направленных сил F₁ и -F₁; F₂ и -F₂; ...; F_n и -F_n, что, очевидно, не изменит состояния твердого тела.

(7.72 Кб)

Но сила F₁, приложенная в точке O₁, и сила –F₁, приложенная в точке Oў, образуют пару сил, момент которых относительно точки Oў равен r₁ґF₁. Точно так же силы F₂ и -F₂, приложенные в точках O₂ и Oў соответственно, образуют пару с моментом r₂ґF₂, и т.д. Суммарный момент L всех таких пар относительно точки Oў дается векторным равенством L = [r₁ґF₁] + [r₂ґF₂] + ... + [r_nґF_n]. Остальные силы F₁, F₂, ..., F_n, приложенные в точке Oў, в сумме дают равнодействующую R. Но система не может находиться в равновесии, если величины R и L отличны от нуля. Следовательно, условие равенства нулю одновременно величин R и L является необходимым условием равновесия. Можно показать, что оно же является и достаточным, если тело первоначально покоится. Итак, задача о равновесии сводится к двум аналитическим условиям: R = 0 и L = 0. Эти два уравнения представляют собой математическую запись принципа равновесия.

Теоретические положения статики широко применяются при анализе сил, действующих на конструкции и сооружения. В случае непрерывного распределения сил суммы, которые дают результирующий момент L и равнодействующую R, заменяются интегралами и в соответствии с обычными методами интегрального исчисления. См. также МЕХАНИКА; ПРОЧНОСТНОЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ.

назад