Символическая логика. Важнейшая работа Рассела – Начала математики (Principia Mathematica, в трех томах, опубл. в 1910–1913) была написана в соавторстве с А.Н.Уайтхедом. Этот труд содержит точную формулировку логики и подробное доказательство того, что теоремы чистой математики следуют из принципов логики, а понятия математики могут быть определены в терминах логики. В более поздних работах было показано, что системе Principia достаточно трех неопределимых терминов; Рассел называл их «минимальным словарем» математики, поскольку теоретически вся математика и логика могут быть сформулированы с помощью одних этих терминов. Тезис о сводимости математики к логике выдвигался Расселом в работе Принципы математики (Principles of Mathematics, 1903), ряд важнейших положений Principia излагался им в статьях, вышедших ранее. Среди них – следующие концепции.

Теория дескрипций. Выражения «автор Уэверли» и «золотая гора» являются примерами того, что Рассел называл «дескрипциями», т.е. описательными выражениями. Рассел показал, что такие выражения можно устранить из языка с помощью логических переформулировок предложений, в которые они входят. Например, сказать, что «Автор Уэверли был шотландцем», – значит сказать «Некто написал Уэверли и был шотландцем». Сказать «Золотая гора не существует» – значит сказать «Ничто существующее не является одновременно золотым и горой». Эта теория устраняла необходимость предполагать, что такие предложения, как «Золотая гора не существует», утверждают о чем-то, что оно не существует, и тем самым предполагают царство сущностей, включающее в себя несуществующие объекты. Кроме того, теория дескрипций предлагала новый тип определения, иногда называемый «контекстуальным определением». Вместо того чтобы предложить термины, которые можно было бы подставить на место дескриптивных выражений в предложения, их содержащие, определение Рассела давало метод подстановки на место самих предложений других предложений, имеющих иную структуру и не содержащих дескриптивных выражений. По Расселу, возможность таких определений указывает на то, что грамматическая форма исходного предложения не дает ключа к его подлинному смыслу.

Элиминация кардинальных чисел и классов. Рассел показал, что все свойства числа могут быть сохранены, если определить кардинальные числа в терминах классов. Кардинальное число данного класса было определено как класс всех тех классов, которые подобны этому классу; классы «подобны», если входящие в них элементы могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие друг другу. «Взаимно однозначное соответствие» было определено с помощью терминов словаря логики. Отсюда – нет нужды полагать, что в дополнение к классам существуют такие объекты, как числа. (Сходное определение числа было дано Г.Фреге в 1884.) Рассел далее показал, что нет необходимости допускать и существование самих классов; с помощью контекстуальных определений предложения, которые по видимости говорят о классах, могут быть заменены другими, более сложными предложениями, говорящими о свойствах, а не о классах. Эти определения показывали, что объекты, такие, как классы и числа, которые ранее выводились из некоторых данных и существование которых было по этой причине проблематичным, могут интерпретироваться как логические структуры, построенные из данных. Таким образом, эти определения являются применением «бритвы Оккама» – принципа, согласно которому сущности не следует умножать без необходимости. Рассел называл таким способом определенные объекты «логическими конструкциями» (или «логическими фикциями»).

дальше