Дихотомия. В первом парадоксе утверждается, что, прежде чем движущийся объект сможет преодолеть определенное расстояние, он должен пройти половину этого пути, затем половину оставшегося пути и т.д. до бесконечности. Поскольку при повторных делениях данного расстояния пополам всякий отрезок остается конечным, а число таких отрезков бесконечно, данный путь невозможно пройти за конечное время. Более того, этот довод действителен для любого, сколь угодно малого расстояния, и для любой, сколь угодно большой скорости. Следовательно, невозможно какое бы то ни было движение. Бегун не в состоянии даже тронуться с места. Симплиций, который подробно комментирует этот парадокс, указывает, что здесь за конечное время необходимо совершить бесконечное число касаний: «Тот, кто чего-либо касается, как бы считает, однако бесконечное множество невозможно сосчитать или перебрать». Или, как формулирует это Филопон, «бесконечное абсолютно неопределимо». Для того, чтобы пройти каждое из подразделений протяженности, с необходимостью требуется ограниченный временной интервал, но бесконечное число таких интервалов, как бы мал ни был каждый из них, в совокупности не может дать конечной длительности.

Аристотель усматривал в «дихотомии» скорее заблуждение, нежели парадокс, полагая, что его значимость сводится на нет «ложной посылкой.., будто невозможно пройти или коснуться бесконечного числа точек за конечный период времени». Также и Фемистий полагает, что «Зенон либо в самом деле не знает, либо делает вид, когда полагает, что ему удалось покончить с движением, сказав, что невозможно движущемуся телу за конечный период времени пройти бесконечное число положений». Аристотель считает точки лишь потенциальным, а не действительным бытием, временной или пространственный континуум «в реальности не делится до бесконечности», поскольку не такова его природа.

Ахилл. Во втором парадоксе движения рассматривается состязание в беге между Ахиллом и черепахой, которой при старте дается фора. Парадокс заключается в том, что Ахилл никогда не догонит черепаху, поскольку сперва он должен добежать до того места, откуда начинает двигаться черепаха, а за это время она доберется до следующей точки и т.д., словом, черепаха всегда будет впереди. Разумеется, это рассуждение напоминает дихотомию с той только разницей, что здесь бесконечное деление идет сообразно прогрессии, а не регрессии. В «Дихотомии» доказывалось, что бегун не может пуститься в путь, потому что он не может покинуть того места, в котором находится, в «Ахилле» доказывается, что даже если бегуну удастся тронуться с места, он никуда не прибежит. Аристотель возражает, что бег – это не прерывный процесс, как толкует его Зенон, а непрерывный, однако этот ответ возвращает нас к вопросу, каково отношение дискретных положений Ахилла и черепахи к непрерывному целому? Современный подход к этой проблеме заключается в вычислениях (либо методом сходящихся бесконечных рядов, либо простым алгебраическим уравнением), которыми устанавливается, где и когда Ахилл нагонит черепаху. Предположим, Ахилл бежит в десять раз быстрее черепахи, которая проходит 1 м в секунду и имеет преимущество в 100 м. Пусть х – расстояние в метрах, пройденное черепахой к тому моменту, когда Ахилл ее нагонит, а t – время в секундах. Тогда t = x/1 = (100 + x)/10 = 11¹/₉ с. Вычисления показывают, что бесконечному количеству движений, которые должен совершить Ахилл, соответствует конечный отрезок пространства и времени. Однако самими по себе вычислениями парадокс не разрешается. Ведь сначала необходимо доказать утверждение, что расстояние – это скорость, умноженная на время, а сделать это невозможно без анализа того, что подразумевается под моментальной скоростью – понятием, лежащим в основе третьего парадокса движения.

В большинстве источников, где излагаются парадоксы, говорится о том, что Зенон вообще отрицал возможность движения, но иногда утверждается, что доводы, которые он отстаивал, были направлены лишь на доказательство несовместимости движения с постоянно оспаривавшимся им представлением о непрерывности как о множестве. В «Дихотомии» и «Ахилле» утверждается, что движение невозможно при предположении о бесконечной делимости пространства на точки, а времени на мгновения. В последних двух парадоксах движения утверждается, что движение равным образом невозможно и в том случае, когда делается противоположное предположение, а именно, что деление времени и пространства завершается неделимыми единицами, т.е. время и пространство обладают атомарной структурой.

назад   дальше