Математический анализ занимается изучением величин, изменяющихся в пространстве или во времени, и опирается на два основных понятия – функцию и предел, которые не встречаются в более элементарных разделах математики. Первоначально математический анализ состоял из дифференциального и интегрального исчислений, но теперь включает в себя и другие разделы.

Различают две основные области математики – чистую математику, в которой акцент делается на дедуктивные рассуждения, и прикладную математику. Термин «прикладная математика» иногда относят к тем ветвям математики, которые созданы специально для того, чтобы удовлетворить запросы и требования науки, а иногда – к тем разделам различных наук (физики, экономики и т.п.), которые используют математику как средство решения своих задач. Многие распространенные заблуждения в отношении математики возникают в результате смешения этих двух толкований «прикладной математики». Арифметика может служить примером прикладной математики в первом смысле, а бухгалтерский учет – во втором.

Вопреки широко распространенному мнению, математика продолжает быстро развиваться. Журнал «Математическое обозрение» («Mathematical Review») публикует ежегодно ок. 8000 кратких резюме статей, содержащих последние результаты – новые математические факты, новые доказательства старых фактов и даже сведения о совершенно новых областях математики. Существующая ныне тенденция в математическом образовании заключается в стремлении познакомить учащихся с современными, более абстрактными математическими идеями на более ранних стадиях преподавания математики. См. также МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ. Математика – один из краеугольных камней цивилизации, однако очень немногие люди имеют представление о современном состоянии дел в этой науке. Математика за последние сто лет претерпела огромные изменения, касающиеся как предмета, так и методов исследования. В данной статье мы попытаемся дать общее представление об основных этапах эволюции современной математики, главными результатами которой можно считать, с одной стороны, увеличение разрыва между чистой и прикладной математикой, а с другой – полное переосмысление традиционных областей математики.

Рождение математики. Около 2000 до н.э. было замечено, что в треугольнике со сторонами в 3, 4 и 5 единиц длины один из углов равен 90° (это наблюдение позволяло легко строить прямой угол для практических надобностей). Заметили ли тогда соотношение 5² = 3² + 4²? Относительно этого мы не располагаем никакими сведениями. Через несколько веков было открыто общее правило: в любом треугольнике ABC с прямым углом при вершине A и сторонами b = АС и c = AB, между которыми заключен этот угол, и противолежащей ему стороной a = BC справедливо соотношение a² = b² + c². Можно сказать, что наука начинается тогда, когда масса отдельных наблюдений объясняется одним общим законом; следовательно, открытие «теоремы Пифагора» можно рассматривать как один из первых известных примеров подлинно научного достижения.

Но еще более важное значение для науки вообще и для математики в частности имеет то, что наряду с формулировкой общего закона появляются попытки его доказать, т.е. показать, что он с необходимостью следует из других геометрических свойств. Одно из восточных «доказательств» особенно наглядно в своей простоте: четыре треугольника, равные данному, вписаны в квадрат BCDE так, как показано на чертеже. Площадь квадрата a² оказывается разделенной на четыре равных треугольника общей площадью 2bc и квадрат AFGH площадью (b – c)². Таким образом, a² = (b – c)² + 2bc = (b² + c² – 2bc) + 2bc = b² + c². Поучительно сделать еще один шаг и выяснить точнее, какие «предыдущие» свойства предполагаются известными. Наиболее очевидный факт заключается в том, что, поскольку треугольники BAC и BEF точно, без пробелов и наложения, «подогнаны» вдоль сторон BA и BF, это означает, что два угла при вершинах B и С в треугольнике ABС составляют вместе угол в 90° и поэтому сумма всех трех его углов равна 90° + 90° = 180°. В приведенном выше «доказательстве» используется также формула (bc/2) для площади треугольника ABC с углом в 90° при вершине A. Фактически были использованы и другие допущения, но и сказанного достаточно, чтобы мы могли наглядно увидеть существенный механизм математического доказательства – дедуктивное рассуждение, позволяющее с помощью чисто логических аргументов (на основе надлежащим образом подготовленного материала, в нашем примере – разбиения квадрата) вывести из известных результатов новые свойства, как правило, не следующие непосредственно из имеющихся данных.

(7.33 Кб)

дальше