История. В 1640 французский математик Р.Декарт (1596–1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой V – E + F = 2, где V – число вершин, E – число ребер и F – число граней. В 1752 швейцарский математик Л.Эйлер (1707–1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии – это решение знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава – Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты – линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки – его вершинами, а линии – ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута.

Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777–1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808–1882), П.Тэйт (1831–1901) и Дж.Александер. В 1840 А.Мёбиус (1790–1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О.де Морган (1806–1871) и А.Кэли (1821–1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874).

Основателями современной топологии являются Г.Кантор (1845–1918), А.Пуанкаре (1854–1912) и Л.Брауэр (1881–1966).

Разделы топологии. Топологию можно подразделить на три области: 1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу; 2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп; 3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.

дальше