Первый важный вопрос: как описать наше понятие пространства? В поисках ответа перед нами открывается несколько возможностей, но проще, а возможно, естественнее и полезнее воспользоваться для этого понятиями «точка» и «прямая». Оба они коренятся в процессе визуального восприятия. Точку можно мысленно представлять как «точку зрения», из которой ведется наблюдение, а прямую, определяемую двумя объектами, считать состоящей из множества точек зрения, при наблюдении из которых один объект заслоняет другой. При таком подходе вводится понятие «прямизны», которое воплощается в термине «прямая линия» (или просто «прямая»). Можно считать, что мы абстрагировали понятия «точка» и «прямая» из окружающего мира. В нашем повседневном опыте коренится еще одно представление – о расстоянии АВ между точками А и В. (Мы говорим также о «длине» отрезка АВ.) О расстоянии мы судим, сравнивая его с некоторым эталоном. Одна из возможных единиц длины – метр; изготовив копии с эталона метра, мы сравниваем расстояния и говорим, что расстояние АВ больше (>), равно (=) или меньше (<) некоторого другого расстояния CD.

Выбрав какую-либо прямую АВ и точку С, не лежащую на этой прямой, мы можем мысленно представить себе совокупность всех прямых, проходящих через точку С и различные точки прямой АВ. Все эти прямые лежат в плоскости АВС, определяемой точками А, В, С. Это обстоятельство вынуждает нас рассматривать понятие расстояния в более широком контексте; в частности, на плоскости АВС нас могут интересовать точки Р, находящиеся на постоянном расстоянии r от точки С. Тут уместно ввести понятие вращения вокруг точки С и сказать, что все такие точки лежат на «окружности» радиуса r с центром в точке С. Физически мы можем представить себе веревку длиной r, один конец которой закреплен в точке С; туго натянув веревку и вращая ее вокруг точки С, мы опишем другим концом окружность радиуса r, лежащую в плоскости АВС. Из нашего опыта мы знаем, что если радиус достаточно велик, то окружность пересечет прямую АВ в двух точках Р₁ и Р₂. Если мы начнем поворачивать отрезки Р₁С и Р₂С вокруг точек Р₁ и Р₂, то, как известно, найдется такая точка Сў, что P₁C = P₁Cў и P₂C = P₂Cў; будем говорить, что прямая ССў «перпендикулярна» прямой АВ (рис. 1). Нет сомнения в том, что ССў пересечет АВ в некоторой точке D; все углы между АВ и CD мы назовем «прямыми углами», а длину d перпендикулярна CD – «расстоянием» от точки С до прямой АВ. Таким образом, мы получим практический способ построения перпендикуляра, «опущенного» из точки С на прямую АВ, и деления отрезка пополам (P₁D = DP₂).

(2.88 Кб)

дальше