Рассмотрим пример на вычитание: вычислить 453,87 – 82,94.

или

Прежде всего, заимствуя в случае необходимости единицу слева, мы преобразуем разложение уменьшаемого так, чтобы его коэффициент при любой степени числа 10 был больше коэффициента вычитаемого при той же степени. Из 4Ч10² мы заимствуем 1Ч10² = 10Ч10, прибавляя последнее число к следующему члену разложения, что дает 15Ч10; аналогично мы заимствуем 1Ч10⁰, или 10Ч10^–1, и прибавляем это число к предпоследнему члену разложения. После этого мы получаем возможность произвести вычитание коэффициентов при одинаковых степенях числа 10 и без труда находим разность 370,93.

Запись операций вычитания можно представить в более сжатом виде и получить пример алгоритма вычитания, изучаемого в школе. Запишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы их десятичные запятые оказались на одной вертикали. Начав справа, найдем, что разность коэффициентов при 10^–2 равна 3, и это число запишем в том же столбце под чертой. Так как в следующем столбце слева мы не можем вычесть 9 из 8, мы изменяем тройку в положении единиц уменьшаемого на двойку и рассматриваем число 8 в позиции десятых как 18. После вычитания 9 из 18 мы получаем 9 и т.д., т.е.

Умножение. Рассмотрим сначала т.н. «короткое» умножение – умножение положительного действительного числа на одно из однозначных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, например, 32,67ґ4. Пользуясь законом дистрибутивности, а также законами ассоциативности и коммутативности умножения, мы получаем возможность разбивать множители на части и располагать их более удобным образом. Например,

Эти вычисления можно записать более компактно следующим образом:

Процесс сжатия можно продолжить. Запишем множитель 4 под множимым 32,67, как указано:

Так как 4ґ7 = 28, мы записываем под чертой цифру 8, а 2 помещаем над цифрой 6 множимого. Далее, 4ґ6 = 24, что с учетом перенесенной из столбца справа дает 26. Цифру 6 мы записываем под чертой, а 2 записываем над цифрой 2 множимого. Затем мы получаем 4ґ2 = 8, что в сочетании с перенесенной двойкой дает 10. Цифру 0 мы подписываем под чертой, а единицу – над цифрой 3 множимого. Наконец, 4ґ3 = 12, что с учетом перенесенной единицы дает 13; число 13 записываем под чертой. Поставив десятичную запятую, получаем ответ: произведение равно 130,68.

«Длинное» умножение – это просто неоднократно повторенное «короткое» умножение. Рассмотрим, например, умножение числа 32,67 на число 72,4. Расположим множитель под множимым, как указано:

Производя справа налево короткое умножение, мы получаем первое частное произведение 13,068, второе – 65,34 и третье – 2286,9. По закону дистрибутивности, произведение, которое требуется найти, есть сумма этих частных произведений, или 2365,308. В письменной записи десятичная запятая в частных произведениях опускается, но их нужно правильно располагать «ступеньками», чтобы затем просуммировать и получить полное произведение. Число знаков после десятичной запятой в произведении равно сумме числа знаков после запятых в множимом и множителе.

назад   дальше