Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
|
  
|
|
Арифметика приближенных чисел. Многие числа, используемые в вычислениях, возникают либо из измерений, либо из оценок и поэтому могут рассматриваться лишь как приближенные. Очевидно, что результатом вычислений, производимых с приближенными числами, может быть только приближенное число. Например, предположим, что измерения поверхности прилавка дали следующие результаты (с округлением до ближайшей десятой метра): ширина 1,2 м, длина 3,1 м; можно было бы сказать, что площадь прилавка составляет 1,2ґ3,1 = 3,72 м2. Однако в действительности информация далеко не столь определенна. Так как величина 1,2 м указывает лишь на то, что результат измерения ширины заключен между 1,15 и 1,25 м, а 3,1 – на то, что результат измерения длины заключен между 3,05 и 3,15 м, о площади прилавка можно лишь сказать, что она должна быть больше, чем 1,15ґ3,05 = 3,5075, но меньше, чем 1,25ґ3,15 = 3,9375. Следовательно, единственный разумный ответ на вопрос о площади прилавка состоит в утверждении, что она приблизительно равна 3,7 м2. Рассмотрим далее проблему сложения результатов приближенных измерений 3,73 м, 52,1 м и 0,282 м. Простая сумма равна 56,112 м. Но, как и в предыдущей задаче, все, что можно сказать с уверенностью, так это то, что истинная сумма должна быть больше, чем 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 м и меньше, чем 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 м. Таким образом, единственный разумный ответ на вопрос сводится к утверждению, что сумма приближенно равна 56,1 м.
Два приведенных выше примера иллюстрируют некоторые правила, полезные при работе с приближенными числами. Существуют различные способы округления чисел. Один из них состоит в отбрасывании младших разрядов числа. При этом если первая отбрасываемая цифра больше пяти, то последний оставшийся знак надо увеличить на единицу, если меньше, то последний знак оставляемой части сохраняется неизменным.
Если же первая отбрасываемая цифра в точности равна пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменений, если она четная. Например, при округлении до сотых числа 3,14159;17,7682; 28,999; 0,00234; 7,235 и 7,325 переходят в числа 3,14; 17,77; 29,00; 0,00; 7,24 и 7,32.
Другой способ округления связан с понятием значащих цифр и используется при машинной записи числа. Значащими цифрами приближенного числа называются цифры в его десятичной записи по порядку слева направо, начиная с первой отличной от нуля цифры и кончая той цифрой, которая стоит на месте десятичного знака, соответствующего ошибке. Например, значащими цифрами приближенного числа 12,1 являются цифры 1, 2, 1; приближенного числа 0,072 – цифры 7, 2; приближенного числа 82000, записанного с точностью до сотен, – 8, 2, 0.
Теперь мы сформулируем два упоминавшихся выше правила действий с приближенными числами.
При сложении и вычитании приближенных чисел округлять каждое число следует до знака, следующего по номеру за последним знаком наименее точного числа, а полученную сумму и разность округлять до такого же количества знаков, как у наименее точного числа. При умножении и делении приближенных чисел каждое число следует округлять до знака, следующего по номеру за последней значащей цифрой наименее значащего числа, а произведение и частное округлять с той же точностью, с какой известно наименее точное число.
Возвращаясь к ранее рассмотренным задачам, получаем:
1,2ґ3,1 = 3,72 м2 » 3,7 м2 и 3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 м2 » 56,1 м, где знак » означает «приближенно равно». В некоторых учебниках арифметики приводятся алгоритмы для работы с приближенными числами, позволяющие избегать при вычислениях лишних знаков. Кроме того, в них используется т.н. запись приближенных чисел, т.е. любое число представляется в виде (число, заключенное в интервале от 1 до 10) ґ (степень числа 10), где в первом множителе содержатся только значащие цифры числа. Например, 82000 км, округленные до ближайшего числа сотен км, запишется как 8,20ґ104 км, а 0,00702 см – как 7,02ґ10–3 см.
Числа в математических таблицах, тригонометрических или таблицах логарифмах, – приближенные, записанные с определенным числом знаков. При работе с такими таблицами следует придерживаться правил для вычислений с приближенными числами.
|
|
|
|
