Степенью многочлена называют высшую степень входящей в него переменной, например, 2x³ – 5x² + 6x – 1 – многочлен третьей степени. Любое число, отличное от нуля, рассматриваемое как функция (постоянная, или константа), представляет собой многочлен нулевой степени. Многочлены степеней 1, 2, 3, 4 называются соответственно линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Многочлены можно складывать и умножать так же, как числа, за исключением операции переноса единицы в старший разряд. Последнее вполне естественно, т.к. обычный способ записи чисел по существу является их представлением в виде многочлена по степеням числа 10. Например, чтобы найти сумму многочленов 2x³ – 3x² + 4x + 5 и x² + 3x – 2, мы записываем

чтобы найти произведение тех же многочленов, мы записываем

Алгебраическое уравнение (в стандартной форме) – это записанное в алгебраических обозначениях утверждение о том, что некоторая полиномиальная функция обращается в нуль при некотором значении или некоторых значениях переменной (которые требуется найти; например, x² – 5x + 6 = 0 – алгебраическое уравнение). Уравнение типа 5 – 2x = 6x² – 3x, приводимое к стандартному алгебраическому уравнению, также называется алгебраическим уравнением. В тех разделах математики, где неалгебраические уравнения (например, e^x + 2sin x = 3) не встречаются, вместо слов «алгебраическое уравнение» обычно говорят просто «уравнение».

Значения переменной, при которых многочлен обращается в нуль, называются корнями многочлена; они также являются корнями уравнения, получающегося, если многочлен приравнять нулю. Например, многочлен x² – 5x + 6 имеет корни 2 и 3, т.к. 2² – 5Ч2 + 6 = 0 и 3² – 5Ч3 + 6 = 0; уравнение x² – 5x + 6 = 0 также имеет корни 2 и 3. Заметим, однако, что в многочлене x² – 5x + 6 переменная x означает любое число из области определения функции; в уравнении же x² – 5x + 6 = 0 неизвестная величина x означает одно из чисел, удовлетворяющих уравнению, т.е. превращающих его в тождество, а именно 2 или 3.

Линейное уравнение общего вида можно записать как ax + b = 0, где a(№ 0) и b – два заданных числа. Оно имеет решение x = –b/a; таким образом, линейное (степени 1) уравнение имеет ровно один корень.

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0. Некоторые простые квадратные уравнения удается решить методом факторизации: если уравнение имеет вид

x² – 5x + 6 = 0,

то его можно также записать в эквивалентной форме

(x – 3)(x – 2) = 0,

а последнее выполняется только в том случае, когда x = 3 или x = 2 (т.к. произведение двух чисел равно нулю лишь когда один из сомножителей равен нулю). Следовательно, у интересующего нас уравнения два корня: 2 и 3. Было установлено, что квадратное уравнение обычно имеет два корня, хотя, например, у уравнения

x² – 4x + 4 = 0

только один корень. Считается, что в этом случае оба корня уравнения совпадают, так как многочлен, стоящий в левой части уравнения, можно представить в виде двух линейных сомножителей

x² – 4x + 4 = (x – 2)(x – 2).

Квадратное уравнение типа

x² + 2x + 4 = 0

не имеет действительных корней, т.к. x² + 2x + 4 = x² + 2x + 1 + 3 = (x + 1)² + 3, т.е. значение многочлена x² + 2x + 4 положительно при любом действительном x; однако у этого уравнения есть, как будет показано ниже, два комплексных корня. Так называемая основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен положительной степени n можно разложить в произведение n линейных сомножителей (возможно, с использованием комплексных чисел), поэтому в общем случае можно сказать, что алгебраическое уравнение степени n имеет n корней (хотя значения некоторых корней могут совпадать).

Общий метод решения квадратного уравнения (называемый дополнением до полного квадрата) основан на идее, с помощью которой мы показали, что у уравнения x² + 2x + 4 = 0 нет действительных корней. В качестве примера мы выберем уравнение, имеющее действительные корни:

x² + 2x – 2 = 0.

Запишем это уравнение в виде

x² + 2x = 2

и прибавим к правой и левой части по 1:

x² + 2x + 1 = 3.

В левой части теперь стоит полный квадрат, поэтому

(x + 1)² = 3.

Это означает, что число x + 1 – один из квадратных корней из 3, т.е.

откуда

Обычно для краткости это записывают так:

что следует понимать как альтернативу (x принимает либо одно, либо другое значение), но отнюдь не как утверждение о том, будто x принимает два значения одновременно.

Следуя той же самой процедуре, мы можем решить квадратное уравнение в общем виде и получить формулу для его корней. Запишем уравнение в виде

ax² + bx + c = 0, где a № 0,

перенесем свободный член в правую часть с противоположным знаком и разделим каждый член уравнения на a:

Тогда

Если величина b² – 4ac отлична от нуля, то радикал следует понимать как любой из двух квадратных корней из b² – 4ac, один из которых – положительный, а другой – отрицательный, поэтому полученная формула дает ровно два корня; если величина b² – 4ac равна нулю, то x = –b/(2a), и мы говорим, что уравнение имеет два равных корня. Если величина b² – 4ac положительна, то никаких трудностей с извлечением квадратного корня не возникает. Если же величина b² – 4ac отрицательна, то нам приходится вводить мнимую единицу i, определяемую как квадратный корень из -1, и корни уравнения становятся комплексными. Так, если, например, b² – 4ac = –4, то

См. также ЧИСЛО.

Чтобы продемонстрировать, как действует формула для корней квадратного уравнения в случае, когда b² – 4ac < 0, рассмотрим уравнение

2x² – 4x + 3 = 0.

Здесь a = 2, b = –4, c = 3, и корни равны

Формула для корней квадратного уравнения остается в силе и в том случае, когда коэффициенты уравнения – комплексные числа, но приводит к необходимости извлекать квадратный корень из комплексного числа, а поэтому менее удобна, чем в случае действительных коэффициентов.

Формулы для корней уравнений третьей и четвертой степеней (кубических и биквадратных уравнений) выглядят гораздо сложнее, а для уравнений пятой и более высоких степеней они существуют лишь в отдельных случаях. Когда же коэффициенты уравнения достаточно сложны, например, выражаются числами со многими значащими цифрами, такие формулы не имеют практического значения, и гораздо эффективнее воспользоваться приближенными методами. См. также УРАВНЕНИЯ.

назад   дальше