Равенство x^mЧxⁿ = x^m+n – одно из трех фундаментальных правил действий над степенями, два других правила имеют вид x^mЧy^m = (xy)^m и (x^m)ⁿ = x^mn. Например, 2³Ч3³ = 6³ и (2³)⁴ = 2¹² = 4096. Повторные показатели следует интерпретировать следующим образом: означает . Таким образом, означает . Это число часто приводят как наибольшее число, которое можно записать с помощью трех цифр.

Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 или n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим. Например, 3 и -3 – квадратные корни из 9, так как 3² = 9 и (–3)² = 9; 2 – кубический корень из 8, т.к. 2³ = 8; -2 – кубический корень из -8; 1/2 – кубический корень из 1/8. У любого положительного числа существуют два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Положительный квадратный корень из x обозначается , поэтому . (Символ – стилизованная буква латинского алфавита r, первая буква латинского слова «radix» – корень.) Произвольное положительное число имеет n корней n-й степени; если n четно, то оба корня – действительные; если n нечетно, то действительным является один корень. Если x – положительное число, то символ означает положительный корень n-й степени при четном n; если x – положительное или отрицательное число, то означает один из действительных корней n-й степени при нечетном n. Например, , , , , , называются радикалами. Простые радикалы, выражающие иррациональные числа, например , , , и поныне называются несколько устаревшим термином «иррациональности». Следует подчеркнуть, что всегда означает положительный квадратный корень, так что, например, только в том случае, если y – положительное число; если же y отрицательно, то означает положительное число-y .

Альтернативные обозначения корней основаны на использовании дробных степеней и предпочтительны с точки зрения удобства типографского набора. Если считать, что дробные показатели степеней должны подчиняться тем же законам, что и целые, то x^1/2x^1/2 должно означать (x^1/2)² = x^1/2Ч2 = x; по определению мы полагаем . Аналогично, x^1/n означает корень n-й степени из x, поэтому, например, 8^1/3 = 2. Естественно, x^p/q означает p-ю степень корня q-й степени из числа x или имеет альтернативный (при положительных x – эквивалентный) смысл корня q-й степени из p-й степени числа x. Например, 8^2/3 = 2² = 4 или 8^2/3 = 64^1/3 = 4; 8^–2/3 = 1/4 . Определения дробных и отрицательных степеней положительных чисел выбраны так, чтобы при работе с ними сохранялись правила действий с целыми положительными степенями. Например,

Определить степени отрицательных или комплексных чисел так, чтобы и для них выполнялись все без исключения правила действий над степенями, не представляется возможным. См. также ЛОГАРИФМЫ.

назад   дальше